Un sujet pour tester le plugin Math en pretextant le calcul des probabilités d’apparition des hybrides dans l’Insondable.
A 5 joueurs, il y a deux cartes hybrides parmi les 10 cartes qui seront distribuées.
5 au début, puis 5 quand le périple atteint 6.
On peut voir cela selon le dénombrement ou selon un calcul avec des probabilités.
Les 0 sont les cartes humains, le 1 les cartes hybride (ordre non important entre les 2 cartes hybrides).
0 0 0 0 0 | 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 | 0 0 1 0 1
.
.
.
1 0 0 0 0 | 0 0 0 0 1
→ 9 tirages
0 0 0 0 0 | 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 | 0 1 0 1 0
.
.
.
1 0 0 0 0 | 0 0 0 1 0
→ 8 tirages
etc
On calcule ainsi en tout \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{9} {i} = 9+8+7+...+3+2+1=45
Il y a 45 tirages possibles.
Les tirages suivants sont ceux où le même joueur récupère les deux cartes hybrides:
1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 | 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 | 0 0 0 0 1
Il n’y a qu’évidemment 5 possibilités.
donc P("obtenir \hspace{3pt} un\hspace{3pt} seul\hspace{3pt}joueur\hspace{3pt}hybride")=\dfrac{5}{45}=\dfrac{1}{9}
Soit environ 11\%
En dénombrant ainsi, on peut calculer d’autres probabilités:
- Obtenir aucun traître durant le premier tour: \dfrac{4+3+2+1}{45}=\dfrac{10}{45}=\dfrac{2}{9} soit environ \approx22,2\%
- Obtenir au moins un joueur avec une carte traître durant le premier tour, c’est lévènement contraire du précédent → \dfrac{7}{9} soit environ \approx77,8\%
- Obtenir un unique traître lors du premier tour: Il y a 5\times5=25 cas en dénombrant (avec les 0 et 1 ça aide). Donc P=\dfrac{25}{45}=\dfrac{5}{9} soit \approx55,6\%
- Enfin, obtenir deux joueurs hybrides est l’évènement complémentaire à n’en avoir aucun et à en avoir un seul: P=1-\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}=\dfrac{2}{9} soit \approx22,2\%
On peut bien entendu retrouver ces résultats avec les formules de combinatoire, exemple pour calcul de probabilité avec deux traîtres au premier tour:
\dfrac{8}{10}\times\dfrac{7}{9}\times\dfrac{6}{8}\times(\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6})=\dfrac{2}{10\times9}=\dfrac{1}{45}
Les parenthèses sont inutiles mais servent à montrer les deux proba « hybrides »
On multiplie ce résultat par le nombre de parties à 2 éléments parmi 5 qui vaut \binom{5}{2} =\dfrac{5!}{2!\times3!}=10
On retrouve bien 10\times\dfrac{1}{45}=\dfrac{2}{9}